Pasos para cambiar la contraseña del usuario root para el servicio MySQL:
1º Parar cualquier instancia del servicio
/etc/init.d/mysql stop
2º Iniciar MySQL en modo seguro
/usr/bin/mysqld_safe --skip-grant-tables
3º Ejecutamos el cliente de MySQL y seleccionamos la base de datos mysql
mysql
use mysql;
4º Actualizamos la contraseña del usuario root
update user set Password=('password') where user='root';
5º Recargar las tablas de permisos
flush privileges
6º Por ultimo, parar mysql e iniciarlo de forma normal.